Toronto Math Forum

homo: det(A-I𝝀) = (1-𝝀)(-1-𝝀)+2 = 0 ,  𝝀= i, -i
when 𝛌 = i, A-iI = 1-i, -2 ~ 1-i , -2
                           1, -1-i     0     0
the eigenvector V is span{[2
                                   1-i]}
e^itV = (cos(t)+isin(t))V = [2cos(t)+ 2isin(t)
                                       cos(t)-icos(t) + isin(t)+sin(t)]
 [x,y] = c₁[2cos(t)        +  c₂[2sin(t)
              cos(t)+sin(t)]          -cos(t)+sin(t)]

𝟇(t) = 2cos(t)         2sin(t)   
       cos(t)+sin(t)   -cos(t)+sin(t)
Let 𝜱(t)·u' = g(t)
     2cos(t)            2sin(t)       sec(𝑡)
 cos(t)+sin(t)   -cos(t)+sin(t)    0

2u'₁cos(t) + 2u'₂sin(t) = sec(t)
u'₁cos(t)+u'₁sin(t) -u'₂cos(t)+u'₂sin(t) = 0

u₂ = ∫(cos(t)+sin(t))/2cos(t)) =1/2(t-ln|cos(t)|)+C₁
u₁ = ∫-1/2(cos(t) = -1/2sin(t)+C₂
 
x  = [-1/2sin(t)+C₂           ] [2cos(t)       2sin(t)]
y      [ 1/2(t-ln|cos(t)|)+C₁][cost+sint   -cos(t)+sin(t)]

a) 𝑥(3𝑥+2𝑦−30)=0,𝑦(2𝑦−𝑥−6)=0
The critical points are (0,0), (0,3), (10,0) and (6,6)

There is my solution