Toronto Math Forum

let $f(z)=e^z-1$  $g(z)=e^{2z}-1$

$e^{2z}-1=0$ so $e^{2z}=1$  $e^z=\pm1$

when  $e^z=+1$
$f(z)=e^z-1=0$ $f'(z)=e^z=1\neq0$    so order=1
$g(z)=e^{2z}-1=0$ $g'(z)=2e^{2z}=2\neq0$    so order=1
      1-1=0   removable

when  $e^z=-1$ 
$f(z)=e^z-1=-2\neq0$    so order=0
$g(z)=e^{2z}-1=0$ $g'(z)=2e^{2z}=2\neq0$    so order=1
      1-0=1   simple pole

f(z) = z³+(2i)³i/z+2i
      = (z+2i)(z²-2iz+(2i)²)/z+2i
      =z²-2iz-4
lim_z->2i f(z)=lim_z->2i z²-2iz-4
                  =(2i)²-2i(2i)-4
                  = -4+4-4
                  =-4

Practically  unreadable despite all insane html "mathematics".
$$\begin{aligned}f(z) &= \frac{z^3+(2i)^3i}{z+2i}\\
      &= \frac{(z+2i)(z^2-2iz+(2i)^2)}{z+2i}\\
      &=z^2-2iz-4\\
\lim_{z\to2i} f(z)&=\lim_{z\to2i}  z^2-2iz-4\\
                  &=(2i)^2-2i(2i)-4\\
                  &= -4+4-4\\
                  &=-4
\end{aligned}$$